【これで忘れない】つるかめ算の解き方

こんにちは、Яeiです。

今回は数学科を卒業した私がつるかめ算について、解説させて頂きます。

つるかめ算は数学の問題にその名前(愛称)がついてしまうほど有名な問題となります。

このつるかめ算がくせ者でして、ここで詰んでしまった人も多いのではないでしょうか。

当記事では、つるかめ算について誰でもマスターできるように解説しましたので是非見て行って下さい。

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問題提起

つるかめ算が最初に出てくるのは小学生の時になるでしょうか。

文章題に不慣れな時期に小難しい問題が出てくるものですから、小学生がここで数学(算数)が嫌いになるケースも多いようです。

ではつるかめ算とはどういった問題なのでしょうか。

まずは実際の問題例から見てみましょう。

鶴と亀が合計10匹います。

足の数が合計36本だった場合、鶴と亀はそれぞれ何羽、何匹いるでしょうか。

ただし、一匹あたりの鶴の足の本数は2本、亀は4本とします

小学生時代に初見でこれを見てしまうと、確かにギョッとしてしまうかもしれませんね。

この問題例では、登場人物として「つる」と「かめ」がおりますが、以下のような問題もつるかめ算の問題としてくくられるそうです。

1個50円のみかんと、1個100円のりんごをあわせて10個買いました。

代金の合計が900円だった場合、みかんとりんごをそれぞれ何個買ったでしょうか。

ただし、消費税は考えないこととする。

共通して言えることは、

不明な情報が二つある

という点になります。上の例ですと、「鶴の数」と「亀の数」。

下の例ですと「みかんの個数」と「りんごの個数」ですね。

つるかめ算のポイントはどちらかの不明情報が分かれば、もう片方の情報も確定するといった点です。

例えば上の例でみてみましょう。

仮につるの数が1羽だったとしましょう。

すると、つるとかめの合計数は10なので、かめの数は9匹と確定します。

下の例でも同じですね。

みかんの個数が分かればりんごの個数が決まります。

まず、抑えるべきポイントはここになります。

つまり、どちらか一方の数が分かればこの問題は解けたと言っても過言ではないのです。

研究されたし解法

つるかめ算は有名人です(小学生の心が折れるという点でも有名人ですが)。

そのため、解き方が色々研究されております。

有名な解き方としては以下のようなものがあります(呼び方の正式名称間違っていたらすみません)

・「全部つるだったら」作戦

・面積法

・連立方程式

中学に進むにあたって、一番下の連立方程式の考え方が一番しっくりくると思います。

しかし、連立方程式は中学生で習う話になってきますので、小学生が使えない場合があります。

(知っているなら使えばよいと思いますが、なぜか禁止されているところもあるようです)

そのため「どうやったら小学生でもつるかめ算解けるかなぁ」と考え抜かれた至高の解法が上記二つになるのです。

具体的な解法は後述しますが、これらの解法を最初に聞いた際に多くの人はこう思うのではないでしょうか。

こんなの思いつかないよ

そして多くの小学生はこう思うわけです。

「数学(算数)とは、こんな意味不明な発想で問題を解いていくのか。

自分はまったく思いつかなかったから自分には数学の才能がないのだろう・・・。

数学ライフ\(^o^)/オワタ

これ、わりと教え子に多くおりました。

つるかめ算で「算数楽しい!」となる生徒はごく一部で、多くの生徒は「難しすぎわろた!」と言っておりました。

ちなみに私自身も後者でした。

しかし、後者で述べるつるかめ算の解法は、今後数学を学ぶ上でとても参考になります。

解法を暗記するのではなく、ポイントとなる切り口を覚えることで数学が楽しくなっていくこと間違いなしです!

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解法の詳細

「全部つるだったら」作戦

鶴と亀が合計10匹います。

足の数が合計36本だった場合、鶴と亀はそれぞれ何羽、何匹いるでしょうか。

ただし、一匹あたりの鶴の足の本数は2本、亀は4本とします

この問題を「全部つるだったら」作戦で解いてみましょう。

まず「全部つるだった場合」で考えてみます(この時点ではぁ?なんで?ってなると思いますが)。

ぜんぶ鶴だった場合、つまりつるが10羽だった場合、足の数は合計20本となります。

足の数の合計は36本が正解なので、これだと正解にはほど遠いことが分かると思います。

ここで、足の数が36本になるように鶴を亀に置き換えていきます。

試しに1羽の鶴がどこかに羽ばたいていったとして、亀さんを一匹招待してみましょう。

すると足の本数は合計22本となります。

そうです、鶴を一羽亀に変えると足の本数は2本増えるのです(当たり前かもしれませんが)。

この考え方を使います。

全部つるだった場合、足の本数は実際の36本に比べて16本足りませんでした(36本-20本)。

そこで、一羽ずつ置き換えていくと以下のようになります。

1匹亀に置き換える:14本足りない(36本-22本)

2匹亀に置き換える:12本足りない(36本-24本)

7匹亀に置き換える:2本足りない(36本-34本)

8匹亀に置き換える:一致!

ここで、10匹程度だったらこんな感じで追っていけば答えが分かりますが、

中には意地悪な問題も多く「合計100匹」なんて問題も少なくありません。

そこで、元々足りない足の数は「16本」で、一匹亀に置き換えるとこれが「2本」減るので、

「16÷2=8」

で8匹亀に置き換えればよいことが計算でもすぐに求めることができます。

さて、この「全部つるだったら」作戦を聞いてどういった印象を受けましたか?

初見の人の多くは「思いつかんわ!」ってなると思います。

ここで覚えておいて頂きたい重要な点は以下になります。

極端な例で様子見して、少しずつ値を増やして(減らして)法則を見つけるやり方はよくやる考え方

これは、今後中学・高校・大学数学でも共通しますし、数学論文レベルでも普通にこのやり方を使ったりします。

①まずは極端な例(今回でいうとつるの数を最大または最小にする)で考える。

②次に値を一つ増やして(減らして)法則がないか考える。

③もう一つ増やして(減らして)法則がないか考える。

①~③でだいたい法則が見つかってくると思います。

そのため、全部つるだったら作戦を暗記するのではなくて、

「極端な例で様子見」

「一つ値を増やして法則を見つける(足りなければ2つ、3つと増やす)」

という観点を是非覚えておいて下さい。

この考え方は数学の道において、恐らく一生役に立つ考え方になりますので覚えておいて損はありませんよ。

(損はないというか必ず覚えておいて下さい!というレベルかもしれません)

そういう意味で、この全部つるだったら作戦は超有用な解法かもしれません。

面積法

鶴と亀が合計10匹います。

足の数が合計36本だった場合、鶴と亀はそれぞれ何羽、何匹いるでしょうか。

ただし、一匹あたりの鶴の足の本数は2本、亀は4本とします

面積法はとても鮮やかに解いていきます。

これ凄いですよ、視覚的に問題が解けていきます。

まず、今回の問題を図示したものが以下のような感じになります。

黄色の面積がつるの足の合計本数、青い面積が亀の足の合計本数になります。

これはかけ算を図示しただけですね(面積の大きさはとりあえずてきとうに描いてます)。

そして、この図はつると亀の足の本数を色で分けましたが、以下のように考えても良いわけです。

すると以下の図のように、黄色部分の面積は20(本)と求まりますので、

結果的に問題としてはピンク部分の面積が16(本)になるためには亀の数は何になるのか?といった問題になります。

ピンク部分の面積について、縦の長さは亀の足の本数4から鶴の足の本数の2を引いた2であることが分かります。

そのため、ピンク部分の面積は「2に何をかけたら16になるのか」ということで簡単に8という答えが求まります。

さて、この「面積法」を聞いてどういった印象を受けましたか?

「誰だよ最初に図示しだした人は!天才か!」と思うこと間違いなしです。

これについても、数学界の鉄則(筆者の中で)がありまして、

とりあえず図示する

というのものです。

もちろん、中には図示できない場合もありますが、可能であれば図示してみると視覚的にひらめくことが多々あります。

どうやって図示するかは慣れる必要があるかと思いますので、常日頃から図とか絵に起こして考えてみる練習をしてみて下さい。

これが出来るだけで今後の数学ライフは格段に身になるものになると思います。

連立方程式

鶴と亀が合計10匹います。

足の数が合計36本だった場合、鶴と亀はそれぞれ何羽、何匹いるでしょうか。

ただし、一匹あたりの鶴の足の本数は2本、亀は4本とします

中学生にとっての王道的な解法になります。

小学生はまだ方程式を学んでいないと思いますので、参考程度に眺めて見て下さい。

鶴の数を$x$羽とし、亀の数を$y$匹とします。

すると、合計数が10匹なので以下の式が成り立ちます。

$$x + y = 10 ・・・ ①$$

次に鶴の足の本数は2本なので、今$x$羽の鶴がいるので、鶴の足の合計本数は$2×x$となります。

同じように亀の足の本数は4本なので、亀の足の合計本数は$4×y$となります。

この合計本数が36本となるので以下の式が成り立ちます。

$$2x + 4y = 36 ・・・ ②$$

この①と②の二つの式から簡単に$x=2$、$y=8$と求まります。

さて、この「連立方程式」を聞いてどういった印象を受けましたか?

何となく今までの解法に比べて一番しっくりきたのではないでしょうか。

(分からない値をxとか文字に置き換えて考えるという発想は自然な感じがしますよね)

当記事は以上となります。

つるかめ算は、今後の数学ライフをよりよい物にしてくれる鉄則がつまった問題となっております。

こうした優良な問題と解法が語り継がれていることに感謝したいと思います。

長々とお疲れさまでした。

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