数列とは何か(イメージベースで超簡単に説明致します)

こんにちは、Яeiです。

今回は早稲田大学大学院(数学)を修了した私が、数列について解説していきたいと思います。

数列は今までの分野とは少し異なり、得意不得意が分かれてしまう分野だと思います。

今まで苦手だった人が「数列は得意!」みたいな話もよく聞きます。

とはいえ、それは簡単な数列に限るもので「階差数列」とか「漸化式」なんて出てきた日にはお手上げ状態になったりします。

当記事では、まず「数列」に関して超分かりやすく解説していきたいと思います。

複雑になりますので「階差数列」や「漸化式」については次回以降の記事で解説していきたいと思います。

数列とは

  • 数列とは「数の並び」のことです。

当たり前すぎて「説明手抜きしてるのでは?」と言われてしまうかもしれませんが、別に説明をめんどくさがっているわけではありません。

数列とはあくまでも数の並びのことなのです。

では高校で習う「等差数列」とか「等比数列」とか「階差数列」は?と言うと、これらは規則性正しく並んでいる数の並びとなります。

高校ではこれらの「規則性あるもの」を対象に数列に触れているのです。

規則性があれば、最初の数個ピックアップすればもっと後ろの数字を予想することができます。

そのため、数列は「規則性を見つけて後ろの方の数字を予想する」のが主な目的となります。

それではそれぞれ説明していきたいと思います。

等差数列

等差数列とは

等差数列とは何か、というと「隣り合う項の差が常に一緒」な数の並びのことを言います。

「隣合う項?」と思うかもしれませんが、数を並べた際のお隣さんとなります。

例えば

$$1、3、5、7、9、11、・・・$$

の場合、1と3の差は「2」ですし、3と5の差は「2」ですし・・・といった感じでお隣さんの差は常に「2」となります。

このように、「隣り合う項の差が常に一緒」というルールで並んでいる数列を「等差数列」と呼びます。

等差数列の用語

ここでは等差数列を考えるにあたって、用語を覚えておきましょう。

先ほどの例を頭に入れつつ覚えてもらえれば、そんなに難しくはありませんのでご安心下さい。

まず、一番最初の項についてはお隣さんは1人しかいません(1は3しかお隣さんがいない)。

そのため、少しだけ特別になってきますので最初の項については「初項」と特別に呼びます。

次に等差数列を考えるのに大切なのは「お隣さんとの差」になります。これが常に一定な数列が等差数列だからです。

そのため、「お隣さんとの差」を「公差」と特別に呼びます。

ちなみにですが「項差」なら分かりますが「公差」なのはなぜかと思っていたのですが、どうやら「Common Difference」を直訳したらこうなったらしいです。

(公差を表すのに$d$という記号を使いますが、Common Differenceを採用しているのですね)

最後に、等差数列のn番目の数のことを「一般項」と呼びます。

用語は以上です。

等差数列の一般項の求め方

それでは、数列を考えるのに重要な「一般項」の求め方を考えていきましょう。

これも先ほどの等差数列を例に考えてみましょう。

これは初項が「1」、公差が「2」となります。

この各項がどのような構成になっているかというと、以下のようになります。

等差数列はルールに基づいた数列なので「構造」部分を見てみるとなんかルールが見えてきませんか?

初項は例外として、第二項以降は「初項+公差×〇」といった構造になってますよね。

〇部分は自分の項番号-1になっていることも分かると思います。

(例えば、2項目であれば公差の数は1個ですし、6項目であれば公差の数は5個となって、自分の項番号-1ですよね)

まとめると一般項は、

$$a_{n}=a_{1}+(n-1)d$$

となります。ここで、項番号を$n$とし、$a_{n}$を一般項、$a_{1}$を初項、$d$を公差としております。

先ほどの等差数列の場合、初項が1、公差が2であるので、例えば100項目の数はというと、

$$a_{100}=a_{1}+(100-1)×2=1+198=199$$

となります。

どうでしょうか。最初の数個の数から規則性を見つけることで、その後に続くかなり大きな数を予想することが出来ました。

等差数列の和

では等差数列の和についても考えていきましょう。

先ほどの例では、一般項を求める式を考えました。

ここでは「一般項までの項をすべて足す」ことを考えていきます。

等差数列の和の考え方はまるで手品のように考えることができます。

先ほどの例で再び考えて見ます。

まず、1~6項目までの和をSと置くと、以下のようになります。

$$S=1+3+5+7+9+11$$

ここで、数列の並びを逆にしたものを考えてみると、これは以下のようになります。

$$S=11+9+7+5+3+1$$

並びが逆になっただけですので面積はSのまま変わりありません。そこで、この二つの式を足してみましょう。

これをまとめると以下のようになります。

$$2S=6 \times 12$$

よって、

$$S=36$$

となります。これを一般的にn個の項で同じように考えてみると以下のようになります。

※ n項目は$$a_{n}=a_{1}+(n-1)d$$でしたね。

するとこれを少しだけ計算してまとめると、等差数列のn項目までの数列の和は次のようになります。

$$S_{n}=a_{1}n+\frac{1}{2} n(n-1)d$$

等差数列の実用

ところで、等差数列なんて何に使うのでしょうか。

例えば、有名な例として「単利」があります。

これはお金を借りた場合や投資をした際などの利子の考え方で、元本と呼ばれる大本のお金に対して、毎年数%の利子が取られる(貰える)というものです。

例えば、配当利回り3%の株を100万円分買ったとします。

配当金は毎年100万円に対して3%、つまり3万円が毎年貰えるわけです。

つまり以下のようになるのです。

いかがでしょう。何もしなければ5年目も100万円だったのが、投資するだけで112万円にまでなりました。

投資の力恐るべし!ですね(実際には株価の値動きもありますのでもっと複雑ですが)

少し話がずれましたが、これはまさしく等差数列になってますよね。

なので、単利運用している場合は、単純計算にはなりますが、n年後の資産を予想することが出来ますね。

初項:100万円、公差:3万円です。

等比数列

等比数列とは

等比数列とは何か、というと「隣り合う項の比が常に一緒」な数の並びのことを言います。

「隣合う項」は等差数列と同じですね。

例えば

$$1、2、4、8、16、32、・・・$$

の場合、1と2の比は「1:2」ですし、4と8の比も「1:2」ですし・・・といった感じでお隣さんの比は常に「1:2」となります。

もう少し分かりやすく言うと、前の項に2をかけると後ろの項になっております。

このように、「隣り合う項の比が常に一緒」というルールで並んでいる数列を「等比数列」と呼びます。

等比数列の用語

ここでは等比数列を考えるにあたって、用語を覚えておきましょう。

こちらも等差数列と同じく特に難しくはありませんのでご安心下さい。

まず、一番最初の項については等差数列と同じくお隣さんがいない特殊な数になります。

そのため、最初の項については「初項」と特別に呼びます。

次に等比数列を考えるのに大切なのは「お隣さんとの比」になります。これが常に一定な数列が等比数列だからです。

そのため、「お隣さんとの比」を「公比」と特別に呼びます。

名前に関しても等差数列と同様、こちらも「Common ratio」を直訳したらこうなったらしいです。

(公比を表すのに$r$という記号を使いますが、Common Ratioを採用しているのですね)

等比数列のn番目の数のことを「一般項」と呼ぶことも等差数列と同じですね。

用語は以上です。等差数列とほぼほぼ一緒だったのでここはそんなに難しくなかったと思います。

等比数列の一般項の求め方

それでは、数列を考えるのに重要な「一般項」の求め方を考えていきましょう。

まず、等比数列は次のような数列となってました。

※ 初項が「1」、公比が「2」の例としております。

もう大体予想がついている方もいるかもしれませんが、これは次のようなルールに基づいております。

等比数列はルールに基づいた数列なので「構造」部分を見てみるとルールは見えてきましたよね。

初項は例外として、第二項以降は「初項×公比×公比×・・・」といった構造になってますよね。

まとめると一般項は、

$$a_{n}=a_{1}×r^{n-1}$$

となります。ここで、項番号を$n$とし、$a_{n}$を一般項、$a_{1}$を初項、$r$を公比としております。

先ほどの等比数列の場合、初項が1、公比が2であるので、例えば10項目の数はというと、

$$a_{10}=a_{1}\times 2^{10-1}=1 \times 512=512$$

となります。

等差数列とは異なり、項が大きくなってくると求めるのが大変になりますのでパソコンを使って求めるのが良さそうですね。

等比数列の和

では等差数列の和についても考えていきましょう。

等比数列の和は先ほどの等差数列の和と同じように求めることができます。

ここではいきなり一般項も含めて考えていきますが、初項から一般項までの和を$S$とすると、

$$S=a_{1}+a_{1}×r^{1}+a_{1}×r^{2}+a_{1}×r^{3}+・・・+a_{1}×r^{n-2}+a_{1}×r^{n-1}$$

となります。ここで、等比数列については全体に公比$r$をかけてみましょう。

$$rS=a_{1}×r^{1}+a_{1}×r^{2}+a_{1}×r^{3}+a_{1}×r^{4}+・・・+a_{1}×r^{n-1}+a_{1}×r^{n}$$

この下の式から上の式を引いてみるとどうなるでしょうか。

$$(r-1)S=a_{1}×r^{n}-a_{1}$$

これをちょこちょこっと計算してまとめると以下のようになります。

$$S_{n}=\frac{a_{1}r^{n}-a_{1}}{(r-1)}$$

正確には$r \neq 1$だったりの条件は必要なのですがここでは省略しております。

日本教育の場合、細かい部分は問題を解いていれば「こういう配慮が必要なんだ」と気づくと思います。

(重箱の隅を楊枝でほじくるような問題が多いので)

そのため、ここでは厳密性はスルーしております。

等比数列の実用

ところで、等比数列なんて何に使うのでしょうか。

等差数列と同じく金融系の話で考えてみると「複利」の考え方が等比数列となります。

ここでは分かりやすく利率を10%で考えてみましょう。

このように、5年目は単利の場合は「140万円」になりますが、複利の場合は6万円も多い結果となりました。

複利は期間が長くなれば長いほど雪だるま方式でどんどん資産が膨れていきます。

投資をする上で最強の発明などと例えられることすらあります。

等比数列も等差数列も意外にも少し身近なところで利用されているのです。

当記事は以上となります。

等差数列にしても等比数列にしても「一般項」や「和」は少し複雑だったと思います。

正直、一度学校で習ったらすぐに忘れてしまって受験勉強や模試で再度「あぁ、そんなのあったなぁ」と思い出すものではないでしょうか。

そのため、暗記するよりも「仕組みを理解し、一般項や和の求め方」を記憶しておいた方が効率良いと思います。

余力のある人は暗記すればよいのですが、「暗記したけど一般項や和を自力で求められない」というのは本末転倒なのでこうならないようにしましょう。

長々とお疲れさまでした!

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